Релятивистское выражение для кинетической энергии определение. Релятивистская энергия механической системы
Релятивистский импульс: .
Кинетическая энергия релятивистской частицы: 
.
Релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом: .
Теорема сложения скоростей в релятивистской механике: ,
где u и – скорости в двух инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью , совпадающей по направлению с u (знак «-») или противоположно ей направленной (знак «+»).
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Количество вещества: ,
где N – число молекул, N A – постоянная Авогадро, m – масса вещества, m – молярная масса.
Уравнение Клайперона-Менделеева: ,
где P – давление газа, V – его объем, R – малярная газовая постоянная, T – абсолютная температура.
Уравнение молекулярно-кинетической теории газа: 
,
где n – концентрация молекул, – средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, m 0 – масса молекулы, – средняя квадратичная скорость.
Средняя энергия молекулы: ,
где i – число степеней свободы, k – постоянная Больцмана.
Внутренняя энергия идеального газа: .
Скорости молекул:
средняя квадратичная: 
,
средняя арифметическая: 
,
наиболее вероятная: 
.
Средняя длина свободного пробега молекулы: ,
где d – эффективный диаметр молекулы.
Среднее число столкновений молекулы в единицу времени:
Распределение молекул в потенциальном поле сил: ,
где П – потенциальная энергия молекулы.
Барометрическая формула: .
Уравнение диффузии: ,
где D – коэффициент диффузии, r – плотность, dS – элементарная площадка, перпендикулярная к направлению вдоль которого происходит диффузия.
Уравнение теплопроводности: , æ ,
где æ – теплопроводность.
Сила внутреннего трения: ,
где h – динамическая вязкость.
Коэффициент диффузии: .
Вязкость (динамическая): 
.
Теплопроводность: æ ,
где С V – удельная изохорная теплоемкость.
Молярная теплоемкость идеального газа:
изохорная: ,
изобарная: 
.
Первое начало термодинамики:
Работа расширения газа при процессе:
изобарном: ,
изотермическом: 
,
изохорном:
адиабатном: ,
Уравнения Пуассона:
Коэффициент полезного действия цикла Карно: 
,
где Q и T – количество теплоты, полученное от нагревателя, и его температура; Q 0 и Т 0 – количество теплоты, переданное холодильнику, и его температура.
Изменение энтропии при переходе из состояния 1в состояние 2: .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1.Движение тела массой 1 кг задано уравнением s = 6t 3 + 3t + 2 . Найти зависимость скорости и ускорения от времени. Вычислить силу, действующую на тело в конце второй секунды.
Решение . Мгновенную скорость находим как производную от пути по времени: , . Мгновенное ускорение определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени: , . Сила, действующая на тело, определяется по второму закону Ньютона: , где , согласно условию задачи, ускорение в конце второй секунды. Тогда , Н.
Ответ: , , Н.
2. Стержень длиной 1 м движется мимо наблюдателя со скоростью на 20% меньше скорости света. Какой покажется наблюдателю его длина?
Решение . Зависимость длины тела от скорости в релятивистской механике выражается формулой: , где l 0 – длина покоящегося стержня; – скорость его движения; с – скорость света в вакууме. Подставляя в формулу для l 0 числовые значения, имеем: l = 0,6 м.
Ответ: l = 0,6 м.
3. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростями: 1) = 0,5с и u = 0,75с ; 2) = с и u = 0,75с . Найти их относительную скорость в первом и втором случаях.
Решение . Согласно теореме о сложении скоростей тел, движущихся навстречу друг другу, в теории относительности: , где , u – скорости соответственно первого и второго тел; – их относительная скорость; с – скорость света в вакууме. Для первого и второго случаев находим:
Это подтверждает, что, во-первых, ни в какой инерциальной системе отсчета скорость процесса не может превзойти скорость света, и, во-вторых, скорость распространения света в вакууме абсолютна.
Ответ: = 0,91с ; = с .
4. На двух шнурах одинаковой длины, равной 0,8 м, подвешены два свинцовых шара массами 0,5 и 1 кг. Шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отвели в сторону так, что шнур отклонился на угол a=60°, и отпустили. На какую высоту поднимутся оба шара после столкновения? Удар считать центральным и неупругим. Определить энергию, израсходованную на деформацию шаров при ударе.
Решение . Так как удар шаров неупругий, то после удара шары будут двигаться с общей скоростью u . Закон сохранения количества движения при этом ударе имеет вид:
Здесь и – скорости шаров до удара. Скорость большого шара до удара равна нулю ( = 0). Скорость меньшего шара найдем, используя закон сохранения энергии. При отклонении меньшего шара на угол ему сообщается потенциальная энергия, которая затем переходит в кинетическую: . Следовательно: . Из геометрических построений следует: , поэтому:
. (2)
Из уравнений (1) и (2) находим скорость шаров после удара:
. (3)
Кинетическая энергия, которой обладают шары после удара, переходит в потенциальную:
где h
– высота поднятия шаров после столкновения. Из формулы (4) находим ,или с учетом (3) 
и подставив числовые данные получим h
= 0,044 м. При неупругом ударе шаров часть энергии расходуется на их деформацию. Энергия деформации определяется разностью кинетических энергий до и после удара:
. Используя уравнения (2) и (3), получаем: , Дж.
Ответ: h = 0,044 м, DE Д = 1,3 Дж.
5.Молот массой 70 кг падает с высоты 5 м и ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием 1330 кг. Считая удар абсолютно неупругим, определить энергию, расходуемую на деформацию изделия. Систему молот–изделие–наковальня считать замкнутой.
Решение . По условию задачи, система молот–изделие–наковальня считается замкнутой, а удар неупругий. На основании закона сохранения энергии можно считать, что энергия, затраченная на деформацию изделия, равна разности значений механической энергии системы до и после удара. Считаем, что во время удара изменяется только кинетическая энергия тел, т. е. незначительным перемещением тел по вертикали во время удара пренебрегаем. Тогда для энергии деформации изделия имеем:
, (1)
где – скорость молота в конце падения с высоты h ; – общая скорость всех тел системы после неупругого удара. Скорость молота в конце падения с высоты h определяется без учета сопротивления воздуха и трения по формуле:
Общую скорость всех тел системы после неупругого удара найдем, применив закон сохранения количества движения: . Для рассматриваемой системы закон сохранения количества движения имеет вид 
, откуда:
Подставив в формулу (1) выражения (2) и (3), получим: 
, Дж.
Ответ: Дж.
6. Тело массой 1 кг под действием постоянной силы движется прямолинейно. Зависимость пути, пройденного телом, от времени задана уравнением s = 2t 2 +4t+1 . Определить работу силы за 10 сек от начала ее действия и зависимость кинетической энергии от времени.
Решение . Работа, совершаемая силой, выражается через криволинейный интеграл:
Сила, действующая на тело, из II закона Ньютона равна: или (мгновенное значение ускорения определяется первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени). В соответствии с этим находим:
Из выражения (2) определим ds :
Подставив (4) и (5) в уравнение (1), получим: 
По этой формуле определим работу, совершаемую силой за 10 сек от начала ее действия: 
, А
= 960 Дж. Кинетическая энергия определяется по формуле:
Подставляя (2) в (6), имеем: 
.
Ответ: А = 960 Дж, Т = m(8t 2 +16t+8) .
7. Протон движется со скоростью 0,7с (с – скорость света). Найти количество движения и кинетическую энергию протона.
Решение . Количество движения протона определяется по формуле:
Так как скорость протона сравнима со скоростью света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, воспользовавшись релятивистским выражением для массы:
где m – масса движущегося протона; m 0 =1,67×10 -27 кг – масса покоя протона; v – скорость движения протона; c = 3×10 8 м/с – скорость света в вакууме; v/c = b – скорость протона, выраженная в долях скорости света. Подставляя уравнение (2) в (1) получаем: , кг×м/с. В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е 0 этой частицы:
. (3)
Ответ: p = 4,91×10 -19 кг ×м/с, Т = 0,6×10 -10 Дж.
8. Тонкий стержень вращается с угловой скоростью 10 с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. В процессе вращения в той же плоскости стержень перемещается так, что ось вращения проходит через его конец. Найти угловую скорость после перемещения.
Решение . Используем закон сохранения момента импульса: , где J i , – момент инерции стержня относительно оси вращения. Для изолированной системы тел векторная сумма моментов импульса остается постоянной. В данной задаче вследствие того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменится. В соответствии с законом сохранения момента импульса запишем:
Известно, что момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной стержню, равен:
По теореме Штейнера: где J – момент инерции тела относительно произвольной оси вращения; J 0 – момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс; d – расстояние от центра масс до выбранной оси вращения. Найдем момент инерции относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню:
. (3)
Подставляя, формулы (2) и (3) в (1), имеем: , откуда .
Ответ: w 2 = 2,5 c -1 .
9. Маховик массой 4 кг вращается с частотой 720 мин -1 вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Массу маховика можно считать равномерно распределенной по его ободу радиусом 40 см. Через 30 с под действием тормозящего момента маховик остановился. Найти тормозящий момент и число оборотов, которое сделает маховик до полной остановки.
Решение . Для определения тормозящего момента М сил, действующих на тело, нужно применить основное уравнение динамики вращательного движения:
где J
– момент инерции маховика относительно оси, проходящей через центр масс; – изменение угловой скорости за промежуток времени . По условию, , где – начальная угловая скорость, так как конечная угловая скорость = 0. Выразим начальную угловую скорость через частоту вращения маховика; тогда и Момент инерции маховика , где m
– масса маховика; R
– его радиус. Формула (1) принимает вид: 
откуда М
= -1,61 Н×м. Знак «-» говорит о том, что момент томозящий.
Угол поворота (т. е. угловой путь ) за время вращения маховика до остановки может быть определен по формуле для равнозамедленного вращения:
где – угловое ускорение. По условию, , , . Тогда выражение (2) можно записать так: 
. Так как j = 2pN
, w 0 = 2pn
, то число полных оборотов маховика: .
Ответ: М = 1,61 Н×м, N = 180.
10. В сосуде объемом 2 м 3 находится смесь 4 кг гелия и 2 кг водорода при температуре 27 °С. Определить давление и молярную массу смеси газов.
Решение. Воспользуемся уравнением Клайперона-Менделеева, применив его к гелию и водороду:
где P 1 – парциальное давление гелия; m 1 – масса гелия; – его молярная масса; V – объем сосуда; Т – температура газа; R = 8,31 Дж/(моль×К) – молярная газовая постоянная; P 2 - парциальное давление водорода; m 2 – масса водорода; – его молярная масса. Под парциальным давлением P 1 и P 2 понимается то давление, которое производил бы газ, если бы он находился в сосуде один. По закону Дальтона давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси:
Из уравнения (1) и (2) выразим P 1 и P 2 и подставим в уравнение (3). Имеем:
. (4)
Молярную массу смеси газов найдем по формуле: , где v 1 и v 2 – число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов определим по формулам: и . Тогда: . Подставляя числовые значения получаем: P = 2493 КПа и = 3×10 -3 кг/моль.
Ответ: P = 2493 КПа, =3×10 -3 кг/моль.
11. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?
Решение
. Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5, три из которых поступательные и две вращательные. В среднем на одну степень свободы приходится энергия , где k
– постоянная Больцмана; Т
– термодинамическая температура. Для одной молекулы: и . Число молекул, содержащихся в массе газа: . Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул двух килограмм водорода: 
. Средняя кинетическая энергия вращательного движения этих же молекул: . Подставляя числовые значения имеем: =4986 КДж и =2324 КДж.
Ответ: =4986 КДж, =2324 КДж.
12. Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27 0 С и давлении 100 кПа.
Решение
. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле: , где d
– эффективный диаметр молекулы кислорода; n
– число молекул в единице объема, которое можно определить из уравнения: , где k
– постоянная Больцмана. Таким образом, имеем: . Число соударений Z
, происходящих между всеми молекулами за 1 с, равно: , где N
– число молекул кислорода в сосуде объемом 2×10 -3 м3 ; 
. Подставляя числовые значения, получим: Z
Ответ: Z = 9×10 28 с -1 , = 3,56×10 8 м.
13. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре Т = 300 К и давлении 10 5 Па.
Решение
. Коэффициент диффузии определяется по формуле: , где <V
> – средняя арифметическая скорость молекул, – средняя длина свободного пробега молекул. Для нахождения воспользуемся формулой из решения примера 12: 
. Выражение для коэффициента диффузии примет вид: 
. Коэффициент внутреннего трения: , где r
– плотность газа при температуре 300 К и давлении 10 5 Па. Для нахождения r
воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота: при нормальных условиях Т 0
=273 К, P
=1,01×10 5 Па и в условиях задачи: и . Учитывая, что и , имеем: . Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии: . Подставляя числовые значения, получим: D
= 4,7×10 5 м 2 /с и h
= 5,23×10 -5 кг/(м×с).
Ответ: D = 4,7×10 5 м 2 /с и h = 5,23×10 -5 кг/(м×с).
14. Кислород массой 160 г нагревают при постоянном давлении от 320 до 340 К. Определить количество теплоты, поглощенное газом, изменение внутренней энергии и работу расширения газа.
Решение
. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа при постоянном давлении: 
. Здесь с р
и С р
– удельная и молярная теплоемкости газа при постоянном давлении; m
=32×10 -3 кг/моль – молярная масса кислорода. Для всех двухатомных газов: , Дж/(моль×К). Изменение внутренней энергии газа находим по формуле: , где С V
– молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Для всех двухатомных газов: С V = = 5/
2×R; С V
= 20,8 Дж/(моль×К). Работа расширения газа при изобарном процессе: , где – изменение объема газа, которое можно найти из уравнения Клайперона–Менделеева. При изобарном процессе: и . Почленным вычитанием выражений находим: , следовательно: . Подставляя числовые значения, получаем: Дж, Дж, Дж.
Ответ: Дж, Дж, Дж.
15. Объем аргона, находящегося при давлении 80 кПа, увеличился от 1 до 2 л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно; б) адиабатно.
Решение
. Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплоты Q
, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии и на внешнюю механическую работу А
: . Величину системы можно определить, зная массу газа, удельную теплоемкость при постоянном объеме с V
и изменение температуры : . Однако удобнее изменение внутренней энергии определять через молярную теплоемкость С V
, которая может быть выражена через число степеней свободы: . Подставляя величину С V
получаем: . Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому закону термодинамики, часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии . Найти для аргона по полученной формуле нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование этой формулы. Запишем уравнение Клайперона-Менделеева для начального и конечного состояний газа: и , или . Тогда: . Это уравнение является расчетным для определения при изобарном расширении. При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому Q
= 0. Первое начало термодинамики запишется в виде: . Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть произведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед ): . Формула работы для адиабатного процесса имеет вид: 
, где g
– показатель адиабаты, равный: . Для аргона – одноатомного газа (i
= 3) – имеем g
=1,67. Находим изменение внутренней энергии при адиабатном процессе для аргона: 
. Для определения работы расширения аргона формулу для следует преобразовать, учитывая параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клайперона-Менделеева для данного случая , получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии: 
. Подставляя числовые значения, имеем: а) при изобарном расширении Дж; б) при адиабатном расширении Дж.
Ответ: а) =121 Дж; б) = -44,6 Дж.
16. Температура нагревателя тепловой машины 500 К. Температура холодильника 400 К. Определить к.п.д. тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.
Решение
. Коэффициент полезного действия машины определяется по формуле: или . Из этих выражений находим: 
. Произведем вычисления: A
= 335 Дж. Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мощность машины равна 335 Вт.
Ответ: = 0,2, N =335 Вт.
17. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы и температуры их становятся одинаковыми. Показать, что энтропия при этом увеличивается.
Решение
. Пусть температура горячей воды Т 1
, холодной Т 2
, а температура смеси . Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса: или 
, откуда: . Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды: 
. Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды: 
. Изменение энтропии системы равно: 
или 
; так как и 4T 1 T 2
>0, то .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
101. Под действием какой силы при прямолинейном движении тела изменение его координаты со временем происходит по закону х = 10 + 5t - - 10t 2 ? Масса тела 2 кг.
102. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 10 Н, если в момент t = 0 тело покоилось в начале координат (х = 0 ).
103. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 1 Н, если в момент t = 0 начальная координата х = 0 и v 0 = 5м/с.
104. Найти закон движения тела массой 1 кг под действием постоянной силы 2 Н, если в момент t = 0 имеем х 0 = 1 м и v 0 =2 м/с.
105. Тело массой 2 кг движется с ускорением, изменяющимся по закону а = 5t-10 . Определить силу, действующую на тело через 5 с после начала действия, и скорость в конце пятой секунды.
106. Сплошной шар массой 1 кг и радиусом 5 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Закон вращения шара выражается уравнением . В точке, наиболее удаленной от оси вращения, на шар действует сила, касательная к поверхности. Определить эту силу и тормозящий момент.
107. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны 100 м. Закон движения автомобиля выражается уравнением . Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорения в конце пятой секунды.
108. Материальная точка движется по окружности, радиус которой 20 м. Зависимость пути, пройденного точкой, от времени выражается уравнением . Определить пройденный путь, угловую скорость и угловое ускорение точки через 3 с от начала ее движения.
109. Материальная точка движется по окружности радиуса 1 м согласно уравнению . Найти скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорение в момент времени 3 с.
110. Тело вращается равноускоренно с начальной угловой скоростью 5 c -1 и угловым ускорением 1 рад/с 2 . Сколько оборотов сделает тело за 10 с?
111. Параллелепипед размером 2x2x4 см 3 движется параллельно большему ребру. При какой скорости движения он будет казаться кубом.
112. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза?
113. π-мезон – нестабильная частица. Собственное время жизни его 2,6×10 -8 с. Какое расстояние пролетит π-мезон до распада, если он движется со скоростью 0,9с ?
114. Найти собственное время жизни нестабильной частицы -мезона, движущегося со скоростью 0,99с , если расстояние, пролетаемое им до распада, равно 0,1 км.
115. Собственное время жизни π-мезона 2,6×10 -8 с. Чему равно время жизни π-мезона для наблюдателя, относительно которого эта частица движется со скоростью 0,8с ?
116. Электрон, скорость которого 0,9с , движется навстречу протону, имеющему скорость 0,8с
117. Радиоактивное ядро, вылетевшее из ускорителя со скоростью 0,8с , выбросило в направлении своего движения -частицу со скоростью 0,7с относительно ускорителя. Найти скорость частицы относительно ядра.
118. Две частицы движутся навстречу друг другу со скоростью 0,8с . Определить скорость их относительного движения.
119. При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит 25%.
120. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились на 75%.
121. Сплошной цилиндр массой 0,1 кг катится без скольжения с постоянной скоростью 4 м/с. Определить кинетическую энергию цилиндра, время до его остановки, если на него действует сила трения 0,1 Н.
122. Сплошной шар скатывается по наклонной плоскости, длина которой 1 м и угол наклона 30°. Определить скорость шара в конце наклонной плоскости. Трение шара о плоскость не учитывать.
123. Полый цилиндр массой 1 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью 10 м/с. Определить силу, которую необходимо приложить к цилиндру, чтобы остановить его на пути 2 м.
124. Маховик, имеющий форму диска массой 10 кг и радиусом 0,1 м, был раскручен до частоты 120 мин -1 . Под действием силы трения диск остановился через 10с . Найти момент сил трения, считая его постоянным.
125. Обруч и диск скатываются с наклонной плоскости, составляющей угол 30° с горизонтом. Чему равны их ускорения в конце спуска? Силой трения пренебречь.
126. С покоящимся шаром массой 2 кг сталкивается такой же шар, движущийся со скоростью 1 м/с. Вычислить работу, совершенную вследствие деформации при прямом центральном неупругом ударе.
127. Масса снаряда 10 кг, масса ствола орудия 500 кг. При выстреле снаряд получает кинетическую энергию 1,5×10 6 Дж. Какую кинетическую энергию получает ствол орудия вследствие отдачи?
128. Конькобежец массой 60 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой 2 кг со скоростью 10 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед 0,02.
129. Молекула водорода, двигающаяся со скоростью 400 м/с, подлетает к стенке сосуда под углом 60° и упруго ударяется о нее. Определить импульс, полученный стенкой. Принять массу молекул равной 3×10 -27 кг.
130. Стальной шарик массой 50 г упал с высоты 1 м на большую плиту, передав ей импульс силы, равный 0,27 Н×с. Определить количество теплоты выделевшуюся при ударе и высоту, на которую поднимается шарик.
131. С какой скоростью движется электрон, если его кинетическая энергия 1,02 МэВ? Определить импульс электрона.
132. Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя. Какова скорость этой частицы?
133. Масса движущегося протона 2,5×10 -27 кг. Найти скорость и кинетическую энергию протона.
134. Протон прошел ускоряющую разность потенциалов в 200 МВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Чему равна скорость протона?
135. Определить скорость электрона, если его релятивистская масса в три раза больше массы покоя. Вычислить кинетическую и полную энергию электрона.
136. Вычислить скорость, кинетическую и полную энергию протона в тот момент, когда его масса равна массе покоя -частицы.
137. Найти импульс, полную и кинетическую энергию электрона, движущегося со скоростью, равной 0,7с .
138. Протон и -частица проходят одинаковую ускоряющую разность потенциалов, после чего масса протона составила половину массы покоя -частицы. Определить разность потенциалов.
139. Найти импульс, полную и кинетическую энергию нейтрона, движущегося со скоростью 0,6с .
140. Во сколько раз масса движущегося дейтрона больше массы движущегося электрона, если их скорости соответственно равны 0,6с и 0,9с . Чему равны их кинетические энергии.
141. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул, содержащихся в 0,20 г водорода при температуре 27 °С.
142. Давление идеального газа 10 мПа, концентрация молекул 8×10 10
см -3 . Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы и температуру газа.
143. Определить среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы аргона и водяного пара при температуре 500 К.
144. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа равна 15×10 -21 Дж. Концентрация молекул равна 9×10 19 см -3 . Определить давление газа.
145. В баллоне емкостью 50 л находится сжатый водород при 27 °С. После того как часть воздуха выпустили, давление понизилось на 10 5 Па. Определить массу выпущенного водорода. Процесс считать изотермическим.
146. В сосуде, имеющем форму шара, радиус которого 0,1 м, находится 56 г азота. До какой температуры можно нагреть газ, если стенки сосуда выдерживают давление 5·10 5 Па?
147. При температуре 300 К и давлении 1,2×10 5 Па плотность смеси водорода и азота 1 кг/м 3 . Определить молярную массу смеси.
148. В баллоне емкостью 0,8 м 3 находится 2 кг водорода и 2,9 кг азота. Определить давление смеси, если температура окружающей среды 27 °С.
149. До какой температуры можно нагреть запаянный сосуд, содержащий 36 г воды, чтобы он не разорвался, если известно, что стенки сосуда выдерживают давление 5×10 6 Па. Объем сосуда 0,5 л.
150. При температуре 27 °С и давлении 10 6 Па плотность смеси кислорода и азота 15 г/дм 3 . Определить молярную массу смеси.
151. В сосуде емкостью 1 л содержится кислород массой 32 г. Определить среднее число соударений молекул в секунду при температуре 100 К.
152. Определить среднюю длину и среднюю продолжительность свободного пробега молекул углекислого газа при температуре 400 К и давлении 1,38 Па.
153. В сосуде емкостью 1 л находится 4,4 г углекислого газа. Определить среднюю длину свободного пробега молекул.
154. Определить коэффициент диффузии гелия при давлении 1·10 6 Па и температуре 27 °С.
155. Определить коэффициент внутреннего трения кислорода при температуре 400 К.
156. В сосуде емкостью 5 л содержится 40 г аргона. Определить среднее число соударений молекул в секунду при температуре 400 К.
157. Определить коэффициент внутреннего трения воздуха при температуре 100 К.
158. Определить коэффициент диффузии азота при давлении 0,5×10 5 Па и температуре 127 °С.
159. Коэффициент внутреннего трения кислорода при нормальных условиях 1,9×10 -4 кг/м×с. Определить коэффициент теплопроводности кислорода.
160. Коэффициент диффузии водорода при нормальных условиях
9,1×10 -5 м 2 /с. Определить коэффициент теплопроводности водорода.
161. Определить, какое количество теплоты необходимо сообщить аргону массой 400 г, чтобы нагреть его на 100 К: а) при постоянном объеме; б) при постоянном давлении.
162. Во сколько раз увеличится объем 2 молей кислорода при изотермическом расширении при температуре 300 К, если при этом газу сообщили 4 кДж теплоты.
163. Какое количество теплоты нужно сообщить 2 молям воздуха, чтобы он совершил работу в 1000 Дж: а) при изотермическом процессе; б) при изобарическом процессе.
164. Найти работу и изменение внутренней энергии при адиабатном расширении 28 г азота, если его объем увеличился в два раза. Начальная температура азота 27 °С.
165. Кислород, занимающий объем 10 л и находящийся под давлением 2·10 5 Па, адиабатно сжат до объема 2 л. Найти работу сжатия и изменение внутренней энергии кислорода.
166. Определить количество теплоты, сообщенное 88 г углекислого газа, если он был изобарически нагрет от 300 К до 350 К. Какую работу при этом может совершить газ и как изменится его внутренняя энергия?
167. При каком процессе выгоднее производить расширение воздуха: изобарическом или изотермическом, если объем увеличивается в пять раз. Начальная температура газа в обоих случаях одинаковая.
168. При каком процессе выгоднее производить нагревание 2 молей аргона на 100 К: а) изобарическом; б) изохорическом.
169. Азоту массой 20 г при изобарическом нагревании сообщили 3116 Дж теплоты. Как изменилась температура и внутренняя энергия газа.
170. При изотермическом расширении одного моля водорода была затрачена теплота 4 кДж, при этом объем водорода увеличился в пять раз. При какой температуре протекает процесс? Чему равно изменение внутренней энергии газа, какую работу совершает газ?
171. Определить изменение энтропии 14 г азота при изобарном нагревании его от 27 °С до 127 °С.
172. Как изменится энтропия 2 молей углекислого газа при изотермическом расширении, если объем газа увеличивается в четыре раза.
173. Совершая цикл Карно, газ отдал холодильнику 25% теплоты, полученной от нагревателя. Определить температуру холодильника, если температура нагревателя 400 К.
174. Тепловая машина работает по циклу Карно, к.п.д. которого 0,4. Каков будет к.п.д. этой машины, если она будет совершать тот же цикл в обратном направлении?
175. Холодильная машина работает по обратному циклу Карно, к.п.д. которого 40%. Каков будет к.п.д. этой машины, если она работает по прямому циклу Карно.
176. При прямом цикле Карно тепловая машина совершает работу 1000 Дж. Температура нагревателя 500 К, температура холодильника 300 К. Определить количество теплоты, получаемое машиной от нагревателя.
177. Найти изменение энтропии при нагревании 2 кг воды от 0 до 100 °С и последующем превращении ее в пар при той же температуре.
178. Найти изменение энтропии при плавлении 2 кг свинца и дальнейшем его охлаждении от 327 до 0 °С.
179. Определить изменение энтропии, происходящее при смешивании 2 кг воды, находящейся при температуре 300 К, и 4 кг воды при температуре 370 К.
180. Лед массой 1 кг, находящийся при температуре 0 °С, нагревают до температуры 57 °С. Определить изменение энтропии.
12.4. Энергия релятивистской частицы
12.4.1. Энергия релятивистской частицы
Полная энергия релятивистской частицы складывается из энергии покоя релятивистской частицы и ее кинетической энергии:
E = E 0 + T ,
Эквивалентность массы и энергии (формула Эйнштейна) позволяет определить энергию покоя релятивистской частицы и ее полную энергию следующим образом:
- энергия покоя -
E 0 = m 0 c 2 ,
где m 0 - масса покоя релятивистской частицы (масса частицы в собственной системе отсчета); c - скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 м/с;
- полная энергия -
E = mc 2 ,
где m - масса движущейся частицы (масса частицы, движущейся относительно наблюдателя с релятивистской скоростью v ); c - скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 м/с.
Связь между массами m 0 (масса покоящейся частицы) и m (масса движущейся частицы) определяется выражением
Кинетическая энергия релятивистской частицы определяется разностью:
T = E − E 0 ,
где E - полная энергия движущейся частицы, E = mc 2 ; E 0 - энергия покоя указанной частицы, E 0 = m 0 c 2 ; массы m 0 и m связаны формулой
m = m 0 1 − v 2 c 2 ,
где m 0 - масса частицы в той системе отсчета, относительно которой частица покоится; m - масса частицы в той системе отсчета, относительно которой частица движется со скоростью v ; c - скорость света в вакууме, c ≈ 3,0 ⋅ 10 8 м/с.
В явном виде кинетическая энергия релятивистской частицы определяется формулой
T = m c 2 − m 0 c 2 = m 0 c 2 (1 1 − v 2 c 2 − 1) .
Пример 6. Скорость релятивистской частицы составляет 80 % от скорости света. Определить, во сколько раз полная энергия частицы больше ее кинетической энергии.
Решение . Полная энергия релятивистской частицы складывается из энергии покоя релятивистской частицы и ее кинетической энергии:
E = E 0 + T ,
где E - полная энергия движущейся частицы; E 0 - энергия покоя указанной частицы; T - ее кинетическая энергия.
Отсюда следует, что кинетическая энергия является разностью
T = E − E 0 .
Искомой величиной является отношение
E T = E E − E 0 .
Для упрощения расчетов найдем величину, обратную искомой:
T E = E − E 0 E = 1 − E 0 E ,
где E 0 = m 0 c 2 ; E = mc 2 ; m 0 - масса покоя; m - масса движущейся частицы; c - скорость света в вакууме.
Подстановка выражений для E 0 и E в отношение (T /E ) дает
T E = 1 − m 0 c 2 m c 2 = 1 − m 0 m .
Связь между массами m 0 и m определяется формулой
m = m 0 1 − v 2 c 2 ,
где v - скорость релятивистской частицы, v = 0,80c .
Выразим отсюда отношение масс:
m 0 m = 1 − v 2 c 2
и подставим его в (T /E ):
T E = 1 − 1 − v 2 c 2 .
Рассчитаем:
T E = 1 − 1 − (0,80 c) 2 c 2 = 1 − 0,6 = 0,4 .
Искомой величиной является обратное отношение
E T = 1 0,4 = 2,5 .
Полная энергия релятивистской частицы при указанной скорости превышает ее кинетическую энергию в 2,5 раза.
Теория относительности требует пересмотра и уточнения законов механики. Как мы видели, уравнения классической динамики (второй закон Ньютона) удовлетворяют принципу относительности в отношении преобразований Галилея. Но ведь преобразования Галилея должны быть заменены преобразованиями Лоренца! Поэтому уравнения динамики следует изменить так, чтобы они оставались неизменными при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой согласно преобразованиям Лоренца. При малых скоростях уравнения релятивистской динамики должны переходить в классические, ибо в этой области их справедливость подтверждается на опыте.
Импульс и энергия. В теории относительности, как и в классической механике, для замкнутой физической системы сохраняются импульс и энергия Е, однако релятивистские выражения для них отличаются от соответствующих классических:
здесь - масса частицы. Это масса в той системе отсчета, где частица покоится. Часто ее называют массой покоя частицы. Она совпадает с массой частицы в нерелятивистской механике.
Можно показать, что выражаемая формулами (1) зависимость импульса и энергии частицы от ее скорости в теории относительности с неизбежностью следует из релятивистского эффекта замедления времени в движущейся системе отсчета. Это будет сделано ниже.
Релятивистские энергия и импульс (1) удовлетворяют уравнениям, аналогичным соответствующим уравнениям классической механики:
Релятивистская масса. Иногда коэффициент пропорциональности в (1) между скоростью частицы и ее импульсом
называют релятивистской массой частицы. С ее помощью выражения (1) для импульса и энергии частицы можно записать в компактном виде
Если релятивистской частице, т. е. частице, движущейся со скоростью, близкой к скорости света, сообщить дополнительную энергию, чтобы увеличить ее импульс, то скорость ее при этом увеличится очень незначительно. Можно сказать, что энергия частицы и ее импульс увеличиваются теперь за счет роста ее релятивистской массы. Этот эффект наблюдается в работе ускорителей заряженных частиц высоких энергий и служит наиболее убедительным экспериментальным подтверждением теории относительности.
Энергия покоя. Самое замечательное в формуле заключается в том, что покоящееся тело обладает энергией: полагая в получаем
Энергию называют энергией покоя.
Кинетическая энергия. Кинетическая энергия частицы в некоторой системе отсчета определяется как разность между ее полной энергией и энергией покоя С помощью (1) имеем
Если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, формула (6) переходит в обычное выражение для кинетической энергии частицы в нерелятивистской физике.
Различие между классическим и релятивистским выражениями для кинетической энергии становится особенно существенным, когда скорость частицы приближается к скорости света. При релятивистская кинетическая энергия (6) неограниченно возрастает: частица, обладающая отличной от нуля массой покоя и
Рис. 10. Зависимость кинетической энергии тела от скорости
движущаяся со скоростью света, должна была бы иметь бесконечную кинетическую энергию. Зависимость кинетической энергии от скорости частицы показана на рис. 10.
Пропорциональность массы и энергии. Из формулы (6) следует, что при разгоне тела приращение кинетической энергии сопровождается пропорциональным приращением его релятивистской массы. Вспомним, что важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах - именно в этом заключается содержание закона сохранения энергии. Поэтому естественно ожидать, что возрастание релятивистской массы тела будет происходить не только при сообщении ему кинетической энергии, но и при любом другом увеличении энергии тела независимо от конкретного вида энергии. Отсюда можно сделать фундаментальное заключение о том, что полная энергия тела пропорциональна его релятивистской массе независимо от того, из каких конкретных видов энергии она состоит.
Поясним сказанное на следующем простом примере. Рассмотрим неупругое столкновение двух одинаковых тел, движущихся навстречу друг другу с одинаковыми скоростями, так что в результате столкновения образуется одно тело, которое покоится (рис. 11а).
Рис. 11. Неупругое столкновение, наблюдаемое в разных системах отсчета
Пусть скорость каждого из тел до столкновения равна а масса покоя Массу покоя образовавшегося тела обозначим через Теперь рассмотрим это же столкновение с точки зрения наблюдателя в другой системе отсчета К, движущейся относительно исходной системы К влево (рис. 11б) с малой (нерелятивистской) скоростью -и.
Так как то для преобразования скорости при переходе от К к К можно использовать классический закон сложения скоростей. Закон сохранения импульса требует, чтобы полный импульс тел до столкновения был равен импульсу образовавшегося тела. До столкновения полный импульс системы равен где релятивистская масса сталкивающихся тел; после столкновения он равен ибо вследствие массу образовавшегося тела и в К можно считать равной массе покоя. Таким образом, из закона сохранения импульса следует, что масса покоя образовавшегося в результате неупругого соударения тела равна сумме релятивистских масс сталкивающихся частиц, т. е. она больше, чем сумма масс покоя исходных частиц:
Рассмотренный пример неупругого соударения двух тел, при котором происходит превращение кинетической энергии во внутреннюю энергию, показывает, что увеличение внутренней энергии тела также сопровождается пропорциональным увеличением массы. Этот вывод должен быть распространен на все виды энергии: нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, сжатая пружина имеет большую массу, чем несжатая, и т. п.
Эквивалентность энергии и массы. Закон пропорциональности массы и энергии является одним из самых замечательных выводов теории относительности. Взаимосвязь массы и энергии заслуживает подробного обсуждения.
В классической механике масса тела есть физическая величина, являющаяся количественной характеристикой его инертных свойств, т. е. мера инертности. Это инертная масса. С другой стороны, масса характеризует способность тела создавать поле тяготения и испытывать силу в поле тяготения. Это тяготеющая, или гравитационная, масса. Инертность и способность к гравитационным взаимодействиям представляют собой совершенно различные проявления свойств материи. Однако то, что меры этих различных проявлений обозначаются одним и тем же словом, не случайно, а обусловлено тем, что оба свойства всегда существуют совместно и всегда друг другу пропорциональны, так что меры этих свойств можно выражать одним и тем же числом при надлежащем выборе единиц измерения.
Равенство инертной и гравитационной масс есть экспериментальный факт, подтвержденный с огромной степенью точности в опытах Этвеша, Дикке и др. Как же следует отвечать на вопрос: есть ли масса инертная и масса гравитационная одно и то же или нет? По своим проявлениям они различны, но их числовые характеристики пропорциональны друг другу. Такое положение вещей характеризуют словом «эквивалентность».
Аналогичный вопрос возникает в связи с понятиями массы покоя и энергии покоя в теории относительности. Проявления свойств материи, соответствующих массе и энергии, бесспорно различны. Но теория относительности утверждает, что эти свойства неразрывно связаны, пропорциональны друг другу. Поэтому в этом смысле можно говорить об эквивалентности массы покоя и энергии покоя. Выражающее эту эквивалентность соотношение (5) называется формулой Эйнштейна. Она означает, что всякое изменение энергии системы сопровождается эквивалентным изменением ее массы. Это относится к изменениям различных видов внутренней энергии, при которых масса покоя меняется.
О законе сохранения массы. Опыт показывает нам, что в громадном большинстве физических процессов, в которых изменяется внутренняя энергия, масса покоя остается неизменной. Как это согласовать с законом пропорциональности массы и энергии? Дело в том, что обычно подавляющая часть внутренней энергии (и соответствующей ей массы покоя) в превращениях не участвует и в результате оказывается, что определяемая из взвешивания масса практически сохраняется, несмотря на то, что тело выделяет или поглощает энергию. Это объясняется просто недостаточной точностью взвешивания. Для иллюстрации рассмотрим несколько численных примеров.
1. Энергия, высвобождающаяся при сгорании нефти, при взрыве динамита и при других химических превращениях, представляется нам в масштабах повседневного опыта громадной. Однако если перевести ее величину на язык эквивалентной массы, то окажется, что эта масса не составляет и полной величины массы покоя. Например, при соединении водорода с кислорода выделяется около энергии. Масса покоя образовавшейся воды на меньше массы исходных веществ. Такое изменение массы слишком мало для того, чтобы его можно было обнаружить с помощью современных приборов.
2. При неупругом столкновении двух частиц по разогнанных навстречу друг другу до скорости добавочная масса покоя слипшейся пары составляет
(При такой скорости можно пользоваться нерелятивистским выражением для кинетической энергии.) Эта величина намного меньше погрешности, с которой может быть измерена масса
Масса покоя и квантовые закономерности. Естественно задать вопрос: почему при обычных условиях подавляющая часть энергии находится в совершенно пассивном состоянии и в превращениях не участвует? На этот вопрос теория относительности не может дать ответа. Ответ следует искать в области квантовых закономерностей,
одной из характерных особенностей которых является существование устойчивых состояний с дискретными уровнями энергии.
Для элементарных частиц энергия, соответствующая массе покоя, либо превращается в активную форму (излучение) целиком, либо вовсе не превращается. Примером может служить превращение пары электрон-позитрон в гамма-излучение.
У атомов подавляющая часть массы находится в форме массы покоя элементарных частиц, которая в химических реакциях не изменяется. Даже в ядерных реакциях энергия, соответствующая массе покоя тяжелых частиц (нуклонов), входящих в состав ядер, остается пассивной. Но здесь активная часть энергии, т. е. энергия взаимодействия нуклонов, составляет уже заметную долю энергии покоя.
Таким образом, экспериментальное подтверждение релятивистского закона пропорциональности энергии покоя и массы покоя следует искать в мире физики элементарных частиц и ядерной физики. Например, в ядерных реакциях, идущих с выделением энергии, масса покоя конечных продуктов меньше массы покоя ядер, вступающих в реакцию. Соответствующая этому изменению массы энергия с хорошей точностью совпадает с измеренной на опыте кинетической энергией образующихся частиц.
Как импульс и энергия частицы зависят от ее скорости в релятивистской механике?
Какая физическая величина называется массой частицы? Что такое масса покоя? Что такое релятивистская масса?
Покажите, что релятивистское выражение (6) для кинетической энергии переходит в обычное классическое при .
Что такое энергия покоя? В чем заключается принципиальное отличие релятивистского выражения для энергии тела от соответствующего классического?
В каких физических явлениях обнаруживает себя энергия покоя?
Как понимать утверждение об эквивалентности массы и энергии? Приведите примеры проявления этой эквивалентности.
Сохраняется ли масса вещества при химических превращениях?
Вывод выражения для импульса. Дадим обоснование формул (1), приведенных выше без доказательства, анализируя простой мысленный опыт. Для выяснения зависимости импульса частицы от скорости рассмотрим картину абсолютно упругого «скользящего» столкновения двух одинаковых частиц. В системе центра масс это столкновение имеет вид, показанный на рис. 12а: до столкновения частицы У и 2 движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями, после столкновения частицы разлетаются в противоположные стороны с такими же по модулю скоростями, как и до столкновения. Другими словами,
при столкновении происходит только поворот векторов скоростей каждой из частиц на один и тот же небольшой угол
Как будет выглядеть это же столкновение в других системах отсчета? Направим ось х вдоль биссектрисы угла и введем систему отсчета К, движущуюся вдоль оси х относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 1. В этой системе отсчета картина столкновения выгладит так, как показано на рис. 12б: частица 1 движется параллельно оси у, изменив при столкновении направление скорости и импульса на противоположное.
Сохранение х-составляющей полного импульса системы частиц при столкновении выражается соотношением
где - импульсы частиц после столкновения. Так как (рис. 126), требование сохранения импульса означает равенство х-составляющих импульса частиц 1 и 2 в системе отсчета К:
Теперь, наряду с К, введем в рассмотрение систему отсчета К, которая движется относительно системы центра масс со скоростью, равной х-составляющей скорости частицы 2.
Рис. 12. К выводу зависимости массы тела от скорости
В этой системе частица 2 до и после столкновения движется параллельно оси у (рис. 12в). Применяя закон сохранения импульса, убеждаемся, что в этой системе отсчета, как и в системе К, имеет место равенство -составляющих импульса частиц
Но из симметрии картин столкновения на рис. 12б,в легко сделать вывод о том, что модуль импульса частицы 1 в системе К равен модулю импульса частицы 2 в системе отсчета поэтому
Сопоставляя два последних равенства, находим т. е. у-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах отсчета К и К. Точно так же находим Другими словами, у-составляющая импульса любой частицы, перпендикулярная направлению относительной скорости систем отсчета, одинакова в этих системах. В этом и заключается главный вывод из рассмотренного мысленного эксперимента.
Но у-составляющая скорости частицы имеет различное значение в системах отсчета К и К. Согласно формулам преобразования скорости
где есть скорость системы К относительно К. Таким образом, в К у-составляющая скорости частицы 1 меньше, чем в К.
Это уменьшение у-составляющей скорости частицы 1 при переходе от К к К непосредственно связано с релятивистским преобразованием времени: одинаковое в К и К расстояние между штриховыми линиями А и В (рис. 12б, в) частица 1 в системе К проходит за большее время, чем в К. Если в К это время равно (собственное время, так как оба события - пересечение штрихов А и В - происходят в К при одном и том же значении координаты то в системе К это время больше и равно
Вспоминая теперь, что у-составляющая импульса частицы 1 одинакова в системах К и К, мы видим, что в системе К, где у-составляющая скорости частицы меньше, этой частице нужно приписать как бы ббльшую массу, если под массой понимать, как и в нерелятивистской физике, коэффициент пропорциональности между скоростью и импульсом. Как уже отмечалось, этот коэффициент называют иногда релятивистской массой. Релятивистская масса частицы зависит от системы отсчета, т. е. является величиной относительной. В той системе отсчета, где скорость частицы много меньше скорости света, для связи между скоростью и импульсом частицы справедливо обычное классическое выражение где есть масса частицы в том смысле, как она понимается в нерелятивистской физике (масса покоя).
Немного выше мы показали, что зависимость массы от скорости и законы Ньютона приводят к тому, что изменения в кинетической энергии тела, появляющиеся в результате работы приложенных к нему сил, оказываются всегда равными
Предположим, что наши два тела с равными массами (те, которые столкнулись) можно «видеть» даже тогда, когда они оказываются внутри тела М. Скажем, протон с нейтроном столкнулись, но все еще продолжают двигаться внутри М. Масса тела М, как мы обнаружили, равна не 2m 0 , a 2m ω . Этой массой 2m ω снабдили тело его составные части, чья масса покоя была 2m 0 ; значит, избыток массы составного тела равен привнесенной кинетической энергии. Это означает, конечно, что у энергии есть инерция. Ранее мы говорили о нагреве газа и показали, что поскольку молекулы газа движутся, а движущиеся тела становятся массивнее, то при нагревании газа и усилении движения молекул газ становится тяжелее. Но на самом деле такое рассуждение является совершенно общим; наше обсуждение свойств неупругого соударения тоже показывает, что добавочная масса появляется всегда, даже тогда, когда она не является кинетической энергией. Иными словами, если две частицы сближаются и при этом образуется потенциальная или другая форма энергии, если части составного тела замедляются потенциальным барьером, производя работу против внутренних сил, и т. д.,— во всех этих случаях масса тела по-прежнему равна полной привнесенной энергии. Итак, вы видите, что выведенное выше сохранение массы равнозначно сохранению энергии, поэтому в теории относительности нельзя говорить о неупругих соударениях, как это было в механике Ньютона. Согласно механике Ньютона, ничего страшного не произошло бы, если бы два тела, столкнувшись, образовали тело с массой 2m 0 , не отличающееся от того, какое получилось бы, если их медленно приложить друг к другу. Конечно, из закона сохранения энергии мы знаем, что внутри тела имеется добавочная кинетическая энергия, но по закону Ньютона на массу это никак не влияет. А теперь выясняется, что это невозможно: поскольку до столкновения у тел была кинетическая энергия, то составное тело окажется тяжелее; значит, это будет уже другое тело. Если осторожно приложить два тела друг к другу, то возникает тело с массой 2m 0 ; когда же вы их с силой столкнете, то появится тело с большей массой. А если масса отличается, то мы можем это заметить. Итак, сохранение импульса в теории относительности с необходимостью сопровождается сохранением энергии.
Отсюда вытекают интересные следствия. Пусть имеется тело с измеренной массой М, и предположим, что что-то стряслось и оно распалось на две равные части, имеющие скорости ω и массы m ω . Предположим теперь, что эти части, двигаясь через вещество, постепенно замедлились и остановились. Теперь их масса m 0 . Сколько энергии они отдали веществу? По теореме, доказанной раньше, каждый кусок отдаст энергию (mω — m 0)с 2 . Она перейдет в разные формы, например в теплоту, в потенциальную энергию и т. д. Так как 2m ω =M, то высвободившаяся энергия Е = (М—2m 0)с 2 . Это уравнение было использовано для оценки количества энергии, которое могло бы выделиться при ядерном расщеплении в атомной бомбе (хотя части бомбы не точно равны, но примерно они равны). Масса атома урана была известна (ее измерили заранее), была известна и масса атомов, на которые она расщеплялась,— иода, ксенона и т. д. (имеются в виду не массы движущихся атомов, а массы покоя). Иными словами, и М и то были известны. Вычтя одно значение массы из другого, можно прикинуть, сколько энергии высвободится, если М распадется «пополам». По этой причине все газеты считали Эйнштейна «отцом» атомной бомбы. На самом же деле под этим подразумевалось только, что он мог бы заранее подсчитать выделившуюся энергию, если бы ему указали, какой процесс произойдет. Энергию, которая должна высвободиться, когда атом урана подвергнется распаду, подсчитали лишь за полгода до первого прямого испытания. И как только энергия действительно выделилась, ее непосредственно измерили (не будь формулы Эйнштейна, энергию измерили бы другим способом), а с момента, когда ее измерили, формула уже была не нужна. Это отнюдь не принижение заслуг Эйнштейна, а скорее критика газетных высказываний и популярных описаний развития физики и техники. Проблема, как добиться того, чтобы процесс выделения энергии прошел эффективно и быстро, ничего общего с формулой не имеет.
Формула имеет значение и в химии. Скажем, если бы мы взвесили молекулу двуокиси углерода и сравнили ее массу с массой углерода и кислорода, мы бы могли определить, сколько энергии высвобождается, когда углерод и кислород образуют углекислоту. Плохо только то, что эта разница масс так мала, что технически опыт очень трудно проделать.
Теперь обратимся к такому вопросу: нужно ли отныне добавлять к кинетической энергии m 0 с 2 и говорить с этих пор, что полная энергия объекта равна mс 2 ? Во-первых, если бы нам были видны составные части с массой покоя то внутри объекта М, то можно было бы говорить, что часть массы М есть механическая масса покоя составных частей, а другая часть — их кинетическая энергия, третья — потенциальная. Хотя в природе и на самом деле открыты различные частицы, с которыми происходят как раз такие реакции (реакции слияния в одну), однако никакими способами невозможно при этом разглядеть внутри М какие-то составные части. Например, распад K-мезона на два пиона происходит по закону (16.11), но бесмысленно считать, что он состоит из 2π, потому что он распадается порой и на Зπ!
А поэтому возникает новая идея: нет нужды знать, как тела устроены изнутри; нельзя и не нужно разбираться в том, какую часть энергии внутри частицы можно считать энергией покоя тех частей, на которые она распадется. Неудобно, а порой и невозможно разбивать полную энергию mс 2 тела на энергию покоя внутренних частей, их кинетическую и потенциальную энергии; вместо этого мы просто говорим о полной энергии частицы. Мы «сдвигаем начало отсчета» энергий, добавляя ко всему константу m 0 с 2 , и говорим, что полная энергия частицы равна ее массе движения, умноженной на с 2 , а когда тело остановится, его энергия есть его масса в покое, умноженная на с 2 .
И наконец, легко обнаружить, что скорость v, импульс Р и полная энергия Е довольно просто связаны между собой. Как это ни странно, формула m=m 0 /√(1 - v 2 /c 2) очень редко употребляется на практике. Вместо этого незаменимыми оказываются два соотношения, которые легко доказать.
Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением v по закону
где - масса покоя , т.е. масса материальной точки, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится; m - масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v .
оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная от релятивистского импульса :
Из приведенных формул следует, что при скоростях, значительно меньших скорости света в вакууме, они переходят в формулы классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической механики является условие . Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного случая . Таким образом, классическая механика - это механика макротел, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.
Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса : релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость - закон взаимосвязи массы и энергии - установил А. Эйнштейн:
Из (5.13) следует, что любой массе (движущейся m или покоящейся ) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя
Энергия покоя является внутренней энергией тела , которая складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.
В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и ядерных реакций.
В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии : изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы:
Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.
Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии.
Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов электромагнитного излучения:
В релятивистской динамике значение кинетической энергии Е к определяется как разность энергий движущегося Е и покоящегося Е 0 тела:
При уравнение (5.15) переходит в классическое выражение
Из формул (5.13) и (5.11) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:
Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден экспериментами по выделению энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергического эффекта при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.
Краткие выводы:
Специальная теория относительности - это новое учение о пространстве и времени, пришедшее на смену классическим представлениям. В основе СТО лежит положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. При этом скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения. Это положение принято формулировать в виде двух постулатов Эйнштейна - принципа относительности и принципа постоянства скорости света.
Область применения законов классической механики ограничена скоростью движения материального объекта: если скорость тела соизмерима со скоростью света, то необходимо использовать релятивистские формулы. Таким образом, скорость света в вакууме является критерием, определяющим границу применимости классических законов, т.к. она является максимальной скоростью передачи сигналов.
Зависимость массы движущегося тела от скорости движения определяется соотношением
Релятивистский импульс тела и соответственно уравнение динамики его движения
Изменение скорости в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии:
В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела сопровождается эквивалентным изменением ее массы:
Физический смысл этого соотношения заключается в следующем: существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии. Это соотношение является важнейшим для ядерной физики и физики элементарных частиц.
Вопросы для самоконтроля и повторения
1. В чем заключается физическая сущность механического принципа относительности? Чем отличается принцип относительности Галилея от принципа относительности Эйнштейна?
2. Каковы причины создания специальной теории относительности?
3. Сформулируйте постулаты специальной теории относительности.
4. Запишите преобразования Лоренца. При каких условиях они переходят в преобразования Галилея?
5. В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей?
6. Как в релятивистской механике масса движущегося тела зависит от скорости?
7. Запишите основное уравнение релятивистской динамики. Чем оно отличается от основного закона ньютоновской механики?
8. В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса?
9. Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике?
10. Сформулируйте закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая сущность?с . Определить его релятивистский импульс и кинетическую энергию .
Дано: кг; v =0,7c ; с =3· 10 8 м/с.
Найти: р, E k .
Релятивистский импульс протона вычислим по формуле
Кинетическая энергия частицы
где Е - полная энергия движущегося протона; Е 0 - энергия покоя.
Ответ: р = 5,68·10 -19 Н·с; E k = 7,69·10 -11 Дж.
Задачи для самостоятельного решения
1. С какой скоростью должен двигаться стержень, чтобы размеры его в направлении движения сократились в три раза?
2. Частица движется со скоростью v = 8 c . Определить отношение полной энергии релятивистской частицы к ее энергии покоя.
3. Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в три раза.
4. Определить релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого E k = 1 ГэВ.
5. На сколько процентов увеличится масса электрона после прохождения им в ускоряющем электрическом поле разности потенциалов 1,5 МВ?